求曲面4z=3x2+3y2-2xy上的点到平面x-y-z=1的最短距离．

Question

求曲面4z=3x²+3y²-2xy上的点到平面x-y-z=1的最短距离．

Answer 1

设P（z，y，z）为曲面4z=3x²+3y²-2xy上的一点，则P到平面x-y-z=1的距离为：(|x−y−z−1|)/(√(3))．
设F（x，y，z）=（x-y-z-1）²+λ（3x²+3y²-2xy-4z），
由方程组

F′x＝2(x−y−z−1)+λ(6x−2y)＝0

F′y＝−2(x−y−z−1)+λ(6y−2x)＝0

F′z＝−2(x−y−z−1)−4λ＝0

F′λ＝3x2+3y2−2xy−4z＝0

可得：
x=(1)/(2)，y=-(1)/(2)，z=2，
点((1)/(2)，−(1)/(2)，2)到平面x-y-z=1的距离为：
(|(1)/(2)−(−(1)/(2))−2−1|)/(√(3))=(2)/(3)√(3)．
故曲面4z=3x²+3y²-2xy上的点到平面x-y-z=1的最短距离为(2)/(3)

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