求椭圆x2a2+y2b2=1绕y轴旋转所得旋转曲面的面积（假设a>b）．

Question

求椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1绕y轴旋转所得旋转曲面的面积（假设a>b）．

Answer 1

由题意，椭圆：

x=acost

y=bsint

（0≤t≤2π）
根据对称性，椭圆绕y轴旋转所得旋转曲面的面积，是曲线在第一象限绕旋转所得曲面面积的2倍
∴由定积分求曲面的表面积公式，得
A=2

∫

(π)/(2) 0

x√(x′2+y′2)dt=2

∫

(π)/(2) 0

acost√(a2sin2t+b2cos2t)dt
=(2a)/(a2-b2)•(2)/(3)[(a2-b2)sin2t+b2](3)/(2)

|

(π)/(2) 0

=(4a)/(3)•(a3-b3)/(a2-b2)=(4a(a2+ab+b2))/(3(a+b))