求曲面积分∬S（x2z+y2z）dS，其中S是半球面x2+y2+z2=4，z≥0．

Question

求曲面积分

∬

S

（x²z+y²z）dS，其中S是半球面x²+y²+z²=4，z≥0．

Answer 1

曲面方程为：z＝√(4−x2−y2)，
故dS＝√(1+((x)/(√(4−x2−y2)))2+((y)/(√(4−x2−y2)))2)dxdy=(2)/(√(4−x2−y2))dxdy＝(2)/(z)dxdy．
设D={（x，y）|x²+y²≤4}，则

∬

S

（x²z+y²z）dS
=

∬

D

2(x2+y2)dxdy
=2

∫

2π 0

dθ

∫

2 0

r2•rdr
=2•[θ

]

2π 0

•[

π2

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