微分的一个疑问比如同心扇形所围的面积ds,夹角da,答案是ds=r*da*dr,而我认为ds=1/2(r+dr)^2*da-1/2(r)^2*da.之间差了一项,为什么会造成这种差别?

Question

微分的一个疑问
比如同心扇形所围的面积ds,夹角da,答案是ds=r*da*dr,而我认为ds=1/2(r+dr)^2*da-1/2(r)^2*da.之间差了一项,为什么会造成这种差别?

Answer 1

这里确切的提法应是同心扇形面积元dA.(微积分中面积一般用A表示,而s则表示曲线弧长.)
而面积元,是面积∆A的近似值,要求其与∆A只相差比其自变量的微分的高阶无穷小.
在极坐标下,∆A=1/2(r+dr)^2*dθ-1/2(r)^2*dθ=rdrdθ+1/2(dr)^2*dθ≈rdrdθ(后一项是dr的二阶无穷小）.
故dA=rdrdθ.