计算∬S3xdydz-ydzdx-2zdxdy，其中S是曲面z=x2+y2（0≤z≤2y）的下侧．合一投影法：∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬（pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS=∬{P，Q，R}-{cosα，cosβ，cosγ}ds=±∬Dxy{P，Q，R}•ndxdy，其中z=z（x，y），

Question

计算

∬

S

3xdydz-ydzdx-2zdxdy，其中S是曲面z=x²+y²（0≤z≤2y）的下侧．
合一投影法：

∬

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=

∬

（pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS=

∬

{P，Q，R}-{cosα，cosβ，cosγ}ds=±

∬

Dxy

{P，Q，R}•

n

dxdy，其中 z=z（x，y），

n

={-z_x，-z_y，1}．

Answer 1

由于S是曲面z=x²+y²（0≤z≤2y）的下侧，因此曲面上点（x，y，z）的外法向量

n

={-z_x，-z_y，1}={-2x，-2y，1}．
而S在xoy面的投影为x²+y²≤2y
∴原式=

∫∫

x2+y2≤2y

{3x，-y，-2z}•{-2x，-2y，1}dxdy
=

∫∫

x2+(y-1)2≤1

(6x2-2y2+2z)dxdy（z=x²+y²）
=

∫∫

x2+(y-1)2≤1

8x²dxdy
=8

∫

π 0

dθ

∫

2sinθ 0

r3cos2θdr
=2π