∫∫∫Ω(x2+y2+z)dv，其中Ω是由曲线y2＝2zx＝0绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围城的立体．

Question

∫∫∫

Ω

(x2+y2+z)dv，其中Ω是由曲线

y2＝2z

x＝0

绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围城的立体．

Answer 1

∵Ω是由曲线

y2＝2z

x＝0

绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围城的立体
根据旋转曲面方程可知：
区域Ω即为抛物面：x²+y²=2z与平面：z=4s所围成的闭区域．
引入柱面坐标有：
xrcosθ；
y=rsinθ；
z=z；
显然可知；θ，z的取值范围分别为：
θ∈[0，2π]；z∈[0，4]；
∵x²+y²=（rcosθ）²+（rsinθ）²=r²=2z；
∴r的取值范围为：r∈[0，√(2z)]；
dv=rdθdrdz
于是有：

∭

Ω

（x²+y²+z）dv=

∫

4 0

∫

2π 0

∫

√(2z) 0

[（rcosθ）²+（rsinθ）²+z]rdθdrdz
=

∫

4 0

∫

2π 0

∫

√(2z) 0

[r²+z]rdθdrdz
=

∫

4 0

∫

2π 0

∫

√(2z) 0

（r³+rz）dθdrdz
=

∫

4 0

∫

2π 0

∫

√(2z) 0

r³dθdrdz+

∫

4 0

∫

2π 0

∫

√(2z) 0

rzdθdrdz；
其中：

∫

4 0

∫

2π 0

∫

√(2z) 0

r³dθdrdz=

∫

2π 0

dθ

∫

4 0

dz

∫

√(2z) 0

r³dr
=2π•

∫

4 0

dz(r4)/(4)

|

√(2z) 0

=2π•

∫

4 0

z²dz
=2π•(z3)/(3)

|

4 0

=(128)/(3)π；

∫

4 0

∫

2π 0

∫

√(2z) 0

rzdθdrdz=

∫

2π 0

dθ

∫

4 0

dz

∫

√(2z) 0

rzdr
=2π•

∫

4 0

zdz

∫

√(2z) 0

rdr
=2π•

∫

4 0

zdr(r2)/(2)

|

√(2z) 0

=2π•

∫

4 0

z²dr
=(128)/(3)π
∴

∭

Ω

（x²+y²+z）dv=

∫

4 0

∫

2π 0

∫

√(2z) 0

r³dθdrdz+

∫

4 0

∫

2π 0

∫

√(2z) 0

rzdθdrdz
=(128)/(3)π+(128)/(3)π
=(256)/(3)π