已知曲面外一点（X0,Y0,Z0）,如何求点到曲面的最短距离,曲面方程z=x+y*y+1麻烦写出详细解决过程或者思路

Question

已知曲面外一点（X0,Y0,Z0）,如何求点到曲面的最短距离,曲面方程z=x+y*y+1
麻烦写出详细解决过程或者思路

Answer 1

设A(X0,Y0,Z0),曲面z=x+y^2+1上任意一点为P(x,y,x+y^2+1),则
w=PA^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2+(x+y^2+1-z0)^2,
w'x=2(x-x0)+2(x+y^2+1-z0)=4x+2y^2+2-2x0-2z0=0,①
w'y=2(y-y0)+4y(x+y^2+1-z0)=4xy+(6-4z0)y+4y^3-2y0=0.②
②-①*y,(4+2x0-2z0)y+2y^3-2y0=0,
∴y^3+(2+x0-z0)y-y0=0,③
用公式法求③的实根y1,
代入①,得x1.
则PA|min=√w(x1,y1).