计算由曲面z=4-x^2-y^2与z=x^2+y^2所围立体的体积.计算由曲面z=4-x^2-y^2与z=x^2+y^2所围立体的体积.（用微积分,二重积分有关方法解）

Question

计算由曲面z=4-x^2-y^2与z=x^2+y^2所围立体的体积.
计算由曲面z=4-x^2-y^2与z=x^2+y^2所围立体的体积.（用微积分,二重积分有关方法解）

Answer 1

所求体积=∫∫[(4-x^2-y^2)-(x^2+y^2)]dxdy (S是所求立体体积在xoy平面上的投影：x^2+y^2≤2)
=∫∫[4-2(x^2+y^2)]dxdy
=∫dθ∫(4-2r^2)rdr (作极坐标变换)
=2π∫(4r-2r^3)dr
=2π(4-2)
=4π.