∫∫∫z^2dxdydz,其中Ω是两个球：x^2+y^2+z^2≤R^2和x^2+y^2+z^2≤2Rz(R>0)的公共部分.答案是(59/480)πr^5但是算不出来能有大牛给下计算过程吗最好不要用球面坐标

Question

∫∫∫z^2dxdydz,其中Ω是两个球：x^2+y^2+z^2≤R^2和x^2+y^2+z^2≤2Rz(R>0)的公共部分.
答案是(59/480)πr^5 但是算不出来 能有大牛给下计算过程吗 最好不要用球面坐标

Answer 1

不要用球面坐标,要求很高的.
用z=z截立体,在相交平面z=R/2的下方,截面为圆Dz1：x^2+y^2=2Rz-z^2,在z=R/2的上方,截面为圆Dz2：x^2+y^2=R^2-z^2
于是∫∫∫z^2dxdydz
=∫(0,R/2)z^2dz ∫∫Dz1dxdy+∫(R/2,R)z^2dz ∫∫Dz1dxdy (二重积分为面积）
=π∫(0,R/2)z^2(2Rz-z^2)dz +π∫(R/2,R)z^2(R^2-z^2)dz
=π∫(0,R/2)(2Rz^3-z^4)dz +π∫(R/2,R)(R^2z^2-z^4)dz
=π[R^5/32-R^5/160+R^5/3-R^5/5-R^5/24+R^5/160]
=π[15R^5/480+160R^5/480-96R^5/480-20R^5/480]
=(59/480)πR^5