已知复数z1满足：|z1|=1+3i-z1．复数z2满足：z2•（1-i）+（3-2i）=4+i．（1）求复数z1，z2；（2）在复平面内，O为坐标原点，记复数z1，z2对应的点分别为A，B．求△OAB的面积．

Question

已知复数z ₁ 满足：|z ₁ |=1+3i-z ₁ ．复数z ₂ 满足：z ₂ •（1-i）+（3-2i）=4+i．
（1）求复数z ₁ ，z ₂ ；
（2）在复平面内，O为坐标原点，记复数z ₁ ，z ₂ 对应的点分别为A，B．求△OAB的面积．

Answer 1

（1）设z ₁ =x+yi（x，y∈R），
由|z ₁ |=1+3i-z ₁ ，得

x 2 + y 2

=1+3i-(x+yi) =1-x+（3-y）i，
∴

1-x=

x 2 + y 2

3-y=0

，解得

x=-4

y=3

．
∴z ₁ =-4+3i．
而z ₂ •（1-i）=1+3i，
∴ z 2 =(1+3i)/(1-i) =((1+3i)(1+i))/((1-i)(1+i)) = (-2+4i)/(2) =-1+2i，
（2）由（1）知，

OA

=(-4，3) ，

OB

=(-1，2) ，∴ |

OA|

=

(-4 ) 2 + 3 2

=5 ， |

OB

|=

(-1 ) 2 + 2 2

=

5

．
由

OA

•

OB

=|

OA

| |

OB

|cos∠AOB ，得（-4）×（-1）+3×2= 5

5

cos∠AOB ，
解得 cos∠AOB=(2)/(5) ，∴ sin∠AOB=(1)/(5) ．
∴△OAB的面积 S=(1)/(2) ×5×

5

×(1)/(5) = (5)/(2) ．