已知：⊙M的方程为x2+（y-2）2=1，Q点是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B．（1）求弦AB中点P的轨迹方程；（2）若|AB|＞423，求点Q的横坐标xQ的取值范围．

Question

已知：⊙M的方程为x ² +（y-2） ² =1，Q点是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B．
（1）求弦AB中点P的轨迹方程；
（2）若|AB|＞ (42)/(3) ，求点Q的横坐标x _Q 的取值范围．

Answer 1

（1）连接MA、MQ，则M、P、Q三点共线，MA⊥AQ于P．
设P（x，y），其中-1＜x＜1，1＜y＜2，Q（x _Q ，0）∵|AM| ² =|MP|•|MQ|

(x-0) 2 + (y-2) 2

•

( x Q -0) 2 + (0-2) 2

=1
∴

x 2 + (y-2) 2

•

(

x

Q2

+4)

=1 ①
又当x ₀ ≠0时，∵K _MP =K _MO
∴ (y-2)/(x-0) =(0-2)/(xQ -0) 即 x Q =(-2x)/(y-2) ②
将②式代入①式得： [ x 2 + (y-2) 2 ]•[(4 x2)/((y-2)2) +4]=1 [ x 2 + (y-2) 2 ]•(x2 + (y-2)2)/((y-2)2) =(1)/(4) [ x 2 + (y-2) 2 ] 2 =(1)/(4) (y-2 ) 2 x 2 +(y-2 ) 2 =(|y-2|)/(2)
∵y＜2 x 2 +(y-2 ) 2 =(1)/(2) (2-y)
即 x 2 + y 2 -(7)/(2) y+3=0，即 x 2 +(y-(7)/(4) y ) 2 =(1)/(16)
∵x _Q ≠0，
∴x≠0
又当x _Q =0时，由②知x=0代入①得 |y-2|=(1)/(2) ，
解得 y=(3)/(2) 将 (0，(3)/(2) ) 代入 x 2 +(y-(7)/(4) ) 2 =(1)/(16) 满足方程，
所以 (0，(3)/(2) ) 在所求轨迹上，
所以 x 2 +(y-(7)/(4) ) 2 =(1)/(16) (y≠2) 为所求的轨迹方程．
（2）∵|AB|＞ (42)/(3) ，
∴ |AP|=(1)/(2) |AB| ＞ (22)/(3)
|AP| ² =|MA| ² -|MP| ² =1-|MP| ² ＞ (8)/(9) 1-[（2-y） ² +x ² ]＞ (8)/(9) x ² +（2-y） ² ＜ (1)/(9)
由（1）得 (1)/(x2Q+4) ＞ (1)/(9) x _Q ² +4＞9，x _Q ² ＞5
∴x _Q ＞

5

或x _Q ＜-

5