已知：二次函数y=ax2+2ax-4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）①填空：二次函数图象的对称轴为；②求二次函数的解析式；（2）点D

Question

已知：二次函数y=ax²+2ax-4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）①填空：二次函数图象的对称轴为______；
②求二次函数的解析式；
（2）点D的坐标为（-2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP=2，求点P的横坐标；
（3）点E在x轴的正半轴上，∠OAE＞45°，点O与点O′关于EC所在直线对称．作ON⊥EO′于点N，交EC于点M．若EM•EC=32，求点E的坐标．

Answer 1

（1）①该二次函数图象的对称轴为直线x=-1；
故答案为：x=-1．

②∵当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），
∵S_△ABC=(1)/(2)AB•|y_C|=12，
∴AB=6．
又∵点A，B关于直线x=-1对称，
∴A点和B点的坐标分别为（-4，0），（2，0）．
∴4a+4a-4=0，解得a=(1)/(2)．
∴所求二次函数的解析式为y=(1)/(2)x²+x-4．

（2）如图，作DF⊥x轴于点F．分两种情况：
（ⅰ）当点P在直线AD的下方时，如图所示．
由（1）得点A（-4，0），点D（-2，1），
∴DF=1，AF=2．
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，得tan∠ADF=(AF)/(DF)=2．
延长DF与抛物线交于点P₁，则P₁点为所求．
∴点P₁的坐标为（-2，-4）．
（ⅱ）当点P在直线AD的上方时，延长P₁A至点G使得AG=AP₁，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示．
可证△GHA≌△P₁FA．
∴HA=AF，GH=P₁F，GA=P₁A．
又∵A（-4，0），P₁（-2，-4），
∴点G的坐标是（-6，4）．
在△ADP₁中，
DA=√(5)，DP₁=5，
AP₁=2√(5)，
∴DA²+AP₁²=DP₁²
∴∠DAP₁=90°．
∴DA⊥GP₁．
∴DG=DP₁．
∴∠ADG=∠ADP₁．
∴tan∠ADG=tan∠ADP₁=2．
设DG与抛物线的交点为P₂，则P₂点为所求．
作DK⊥GH于点K，作P₂S∥GK交DK于点S．
设P₂点的坐标为（x，(1)/(2)x²+x-4），
则P₂S=(1)/(2)x²+x-4-1=(1)/(2)x²+x-5，DS=-2-x．
由(P2S)/(GK)=(DS)/(DK)，GK=3，DK=4，得((1)/(2)x2+x−5)/(3)=(−2−x)/(4)．
整理，得2x²+7x-14=0．
解得x=

−7±√(作业帮用户2017-10-29问题解析（1）①根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴；②当x=0时，y=-4，可求点C的坐标为（0，-4），根据三角形面积公式可求AB=6．进一步得到A点和B点的坐标分别为（-4，0），（2，0）．待定系数法可求二次函数的解析式（2）作DF⊥x轴于点F．分两种情况：（ⅰ）当点P在直线AD的下方时；（ⅱ）当点P在直线AD的上方时，延长P1A至点G使得AG=AP1，连接DG，作GH⊥x轴于点H，两种情况讨论可求点P1的坐标；（3）连接OCO′，交CE于T．连接CO′C．根据三角函数的整数可得OE2=ET•EC=32+TM•EC．同理OC2=CT•EC=TM•EC=16．得到OE=4√(3)，从而得到点E的坐标．名师点评本题考点：二次函数综合题．考点点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：对称轴坐标公式，坐标轴上点的坐标特征，三角形面积公式，待定系数法可求二次函数的解析式，分类思想，三角函数．综合性较强，有一定的难度．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)