如图平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）直线x=m（0＜m＜4）在线段OB上移动，交x轴于点D，交抛物线于点E，交BC于点

Question

如图平面直角坐标系中，抛物线y=- x ² + x+2 交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）直线x=m（0＜m＜4）在线段OB上移动，交x轴于点D，交抛物线于点E，交BC于点F．求当m为何值时，EF=DF？
（3）连接CE和BE后，对于问题“是否存在这样的点E，使△BCE的面积最大？”小红同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BCE的面积最大”。她的观点是否正确？提出你的见解，若△BCE的面积存在最大值，请求出点E的坐标和△BCE的最大面积．

Answer 1

解: （1）对于y=- x ² + x+2
当y=0时, y=- x ² + x+2=0， 解得x ₁ =-1, x ₂ =4
当x=0时, y=2
∴A、B、C三点的坐标分别为 A（-1,0）,B（4,0）,C（0,2）
∴OA=1，OB= 4，OC=2， ∴AB=OA+OB=5，∴AB ² =25
在Rt△AOC中，AC ² =OA ² +OC ² =1 ² +2 ² =5
在Rt△COB中，BC ² =OC ² +OB ² =2 ² +4 ² =20
∴AC ² +BC ² =AB ²
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形。
（2）∵直线DE的解析式为直线x=m，∴OD= m，DE⊥OB
∵OC⊥AB，∴OC∥DE，∴△BDE∽△BOC  ∴
∵OC=2，OB=4，BD=OB-OD=4-m，∴DF=
当EF=DF时，DE=2DF=4-m，∴E点的坐标为（m, 4-m）
∵E点在抛物线
解得m ₁ =1，m ₂ =4. ∵0＜m＜4，∴m ₂ =4舍去， ∴当m=1时，EF=DF
（3）小红同学的观点是错误的
∵OD= m, DE⊥OB， E点在抛物线
∴E点的坐标可表示为
∴DE=- m ² + m+2 
∵DF=2- m，∴EF=DE-DF=- m ² +2m
∵S _△BCE =S _△CEF +S _△BEF = EF·OD+ EF·BD= EF·（OD+BD） = EF·OB= EF·4=2EF
∴S _△BCE =-m ² +4m=-（m ² -4m+4-4）=-（m-2） ² +4
∴当m=2时, S _△BCE 有最大值,△BCE的最大面积为4
∵当m=2时,- m ² + m+2=3，∴E点的坐标为（2, 3）
而抛物线y=- x ² + x+2的顶点坐标为（ ， ），∴小红同学的观点是错误的 。