（2011•泉港区质检）已知：如图，抛物线y=x2+4x+m与x轴的负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），过A、C两点作直线AC．（1）直接写出m的值及点A、B的坐标；（2）点P

Question

（2011•泉港区质检）已知：如图，抛物线y=x²+4x+m与x轴的负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），过A、C两点作直线AC．
（1）直接写出m的值及点A、B的坐标；
（2）点P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S₁、S₂，且S₁：S₂=2：3，求点P的坐标；
（3）①设⊙O′的半径为1，圆心O′在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙O′与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心O’的坐标；若不存在，请说明理由．
②探究：设⊙O′的半径为r，圆心O′在抛物线上运动，当r取何值时，⊙O′与两坐标轴都相切？

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²+4x+m与与y轴交于点C（0，3），∴m=3，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3，
令y=0，得x²+4x+3=0，
即得x=-1或-3，
∴A（-3，0），B（-1，0），

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴

−3k+b＝0

b＝3

，
即得b=3，k=1，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
∵P在线段AC上，∴设点P（x，x+3），
∴S₁=S_△ABP=(1)/(2)AB•|x+3|=|x+3|，
S₂=S_△BPC=S_△ABC-S_△ABP
=(1)/(2)×2×3-(1)/(2)AB•|x+3|
=3-|x+3|，
∵S₁：S₂=2：3，
∴|x+3|：（3-|x+3|）=2：3，
∴|x+3|=(6)/(5)，
解得x=-(9)/(5)或-(21)/(5)，
∵P在线段AC上，∴-3＜x＜0，
∴舍去x=-(21)/(5)，
∴点P的坐标为（-(9)/(5)，(6)/(5)）；

（3）①⊙O′的半径为1，圆心在y=1上，解得x=-2±√(2)；
圆心在y=-1上，解得x=-2；
圆心在x=1上，解得y=8；
圆心在x=-1上，解得y=0；
∴⊙O′的坐标为（-2，-1），（-2+√(2)，1），（-2-√(2)，1），（1，8），（-1，0）；
②）⊙O′的半径为r，与两坐标轴均相切，则圆心在y=-x或y=x上