在平面上任取三点,其坐标均为整数,试判断这三点能否组成正三角形,若能,有多少个?若不能,说明理由

Question

在平面上任取三点,其坐标均为整数,试判断这三点能否组成正三角形,若能,有多少个?若不能,说明理由

Answer 1

假设存在设三点坐标为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
设x2-x1=a,y2-y1=b,x3-x2=c,y3-y2=d.
则a^2+b^2=c^2+d^2=(a+b)^2+(c+d)^2
不妨设a,b,c,d不全为偶数,否则将a,b,c,d约去最大的2的幂次,原式仍成立.
不妨设a为奇数.
又奇数的平方被4除余1,偶数的平方被4除余0.
若b为偶数,则c,d一奇一偶,则(a+b)^2+(c+d)^2为偶数,矛盾.
若b为奇数,则c,d同奇偶,若同偶a^2+b^2不是4的倍数,c^2+d^2是4的倍数,矛盾.
若同奇,a^2+b^2不是4的倍数,(a+b)^2+(c+d)^2为4的倍数,矛盾.
于是假设不成立,即不能.