如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB

Question

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．

（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上，
∴4=3+m．
∴m=1．
设所求二次函数的关系式为y=a（x-1）²．
∵点A（3，4）在二次函数y=a（x-1）²的图象上，
∴4=a（3-1）²，
∴a=1．
∴所求二次函数的关系式为y=（x-1）²．
即y=x²-2x+1．
（2）设P、E两点的纵坐标分别为y_P和y_E．
∴PE=h=y_P-y_E
=（x+1）-（x²-2x+1）
=-x²+3x．
即h=-x²+3x（0＜x＜3）．
（3）存在．
解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．
∵点D在直线y=x+1上，
∴点D的坐标为（1，2），
∴-x²+3x=2．
即x²-3x+2=0．
解之，得x₁=2，x₂=1（不合题意，舍去）
∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．
解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．
设直线CE的函数关系式为y=x+b．
∵直线CE经过点C（1，0），
∴0=1+b，
∴b=-1．
∴直线CE的函数关系式为y=x-1．
∴

y=x-1

y=x2-2x+1

得x²-3x+2=0．
解之，得x₁=2，x₂=1（不合题意，舍去）
∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．