看看这道高等代数二次型证明题是不是有毛病?证明：一个实二次型可以分解为两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充要条件为：它的秩为2且符号差为0或者秩为1.我一看就这样作：设f(x1

Question

看看这道高等代数二次型证明题是不是 有毛病?证明：一个实二次型可以分解为两个实 系数的一次齐次多项式的乘积的充要条 件为：它的秩为2且符号差为0或者秩为 1.我一看就这样作：设f(x1,x2,…,xn)=(a1x 1+a2x2+…+anxn)(b1x1+b2x2+…+bnxn ),相乘发现矩阵为 [a1b1 a1b2 …a1bn| a2b1 a2b2 …a2bn| …… | anb1 anb2…anbn].明显它的每列都是 列向量(a1,a2,……,an)的倍数,所以秩 为1呀,我看答案都整得好复杂,秩为2 怎么得的,我这个方法哪里有问题呀,这道题是不是漏了什么条件呀

Answer 1

你的问题出在你写的那个矩阵一般不是对称阵,
但在讨论二次型对应的矩阵时是要求为对称阵的.
应该把i, j位置改为(ai·bj+aj·bi)/2, 这样秩就不一定为1了.