在平面直角坐标系xOy中，已知顶点为P（0，2）的二次函数图象与x轴交于A、B两点，A点坐标为（2，0）．（1）求该二次函数的解析式，并写出点B坐标；（2）点C在该二次函数的图象上，且在第

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知顶点为P（0，2）的二次函数图象与x轴交于A、B两点，A点坐标为（2，0）．
（1）求该二次函数的解析式，并写出点B坐标；
（2）点C在该二次函数的图象上，且在第四象限，当△ABC的面积为12时，求点C坐标；
（3）在（2）的条件下，点D 在y轴上，且△APD与△ABC相似，求点D坐标．

Answer 1

（1）设抛物线表达式为y=ax²+2（a≠0）．
把（2，0）代入解析式，解得a＝−(1)/(2)．
所以 抛物线表达式为y＝−(1)/(2)x2+2．则B（-2，0）；

（2）如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．
设点C横坐标为m，则CH＝(1)/(2)m2−2．
由题意得(1)/(2)•[2−(−2)]•((1)/(2)m2−2)＝12，
解得m=±4．
∵点C在第四象限，
∴m=4．
∴C（4，-6）；

（3）∵PO=AO=2，∠POA=90°，
∴∠APO=45°．
∵BH=CH=6，∠CHB=90°，
∴∠CBA=45°．
∵∠BAC＜135°，
∴点D应在点P下方，
∴在△APD与△ABC中，∠APD=∠CBA．
由勾股定理得PA=2√(2)，BC=6√(2)．
①当(PD)/(AB)＝(PA)/(BC)时，(PD)/(4)＝(2√(2))/(6√(2))．解得PD＝(4)/(3)．∴D1(0，(2)/(3))；
②当(PD)/(BC)＝(PA)/(AB)时，(PD)/(6√(2))＝(2√(2))/(4)．解得PD=6．∴D₂（0，-4）．
综上所述，点D坐标为(0，(2)/(3))或（0，-4）．