如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线，y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是Rt△ABC斜边AB上一动点

Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线，y=x²+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是Rt△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）若在抛物线的对称轴上恰好存在唯一的点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；请确定此时点E的坐标．

Answer 1

（1）∵OA=1，OC=4，
∴点A坐标为（-1，0），点B坐标为（4，5），
将点A坐标和点B坐标代入抛物线的解析式，可得

1−b+c＝0

16+4b+c＝5

，
解得

b＝−2

c＝−3

．
故抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）∵直线AB经过点A（-1，0），B（4，5），
∴直线AB的解析式为y=x+1．
设点E（t，t+1）．则F（t，t²-2t-3），-1＜t＜4，
∴EF=（t+1）-（t²-2t-3）=-t²+3t+4=-（t-(3)/(2)）²+(25)/(4)，
∴当t=(3)/(2)时，EF的最大值为(25)/(4)．
∴点E的坐标为（(3)/(2)，(5)/(2)）．

（3）若在抛物线的对称轴上恰好存在唯一的点P．使△EFP是以EF为斜边的直角三角形．则以EF为直径的圆必与抛物线的对称轴相切．
①当1＜t＜4时，

t-1=(−t2+3t+4)/(2)，
解得t=3．
此时点E的坐标为（3，2）．
②当-1＜t＜1时

1-t=(−t2+3t+4)/(2)，
解得t=(5−√(33))/(2)，
此时点E的坐标为（(5−√(33))/(2)，(7−√(33))/(2)）．
综上，点E的坐标为（3，4）和（(5−√(33))/(2)，(7−√(33))/(2)）．