求如图，已知点A（-4，0）和点B（6，0），第三象限内有一点P，它的横坐标为-2，并且满足条件tan∠PAB•tan∠PBA=1．（1）求证：△PAB是直角三角形；（2）求过P、A、B三个点的抛物线的表达式

Question

求如图，已知点A（-4，0）和点B（6，0），第三象限内有一点P，它的横坐标为-2，并且满足条件tan∠PAB•tan∠PBA=1．

（1）求证：△PAB是直角三角形；
（2）求过P、A、B三个点的抛物线的表达式，并求顶点坐标．

Answer 1

（1）证明：如图，过点P作PC⊥AB于C，
∵tan∠PAB•tan∠PBA=1，
∴(PC)/(AC)•(PC)/(BC)=1，
∴(PC)/(AC)=(BC)/(PC)，
又∵∠ACP=PCB=90°，
∴△ACP∽△PCB，
∴∠PAC=∠BPC，
∵∠PAC+∠APC=90°，
∴∠BPC+∠APC=90°，
即∠APB=90°，
∴△PAB是直角三角形；

（2） ∵点A（-4，0），点B（6，0），点P的横坐标为-2，
∴AC=-2-（-4）=-2+4=2，
BC=6-（-2）=6+2=8，
∴(PC)/(2)•(PC)/(8)=1，
解得PC=4，
∴点P的坐标为（-2，-4），
设过P、A、B三个点的抛物线的表达式为y=a（x+4）（x-6），
将点P的坐标代入得，a（-2+4）（-2-6）=-4，
解得a=(1)/(4)，
所以，y=(1)/(4)（x+4）（x-6）=(1)/(4)（x²-2x-24）=(1)/(4)x²-(1)/(2)x-6，
所以，抛物线解析式为y=(1)/(4)x²-(1)/(2)x-6；
∵y=(1)/(4)x²-(1)/(2)x-6=(1)/(4)（x²-2x+1）-(1)/(4)-6=(1)/(4)（x-1）²-(25)/(4)，
∴顶点坐标为（1，-(25)/(4)）．