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如图,已知直线y=-34x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B,点B的坐标为(0,6).(1)求m的值和点A的坐标;(2)在矩形OACB中,点P是线段BC上的一动点,直线PD⊥AB于点D,与x轴交于点E,设BP=a,梯

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如图,已知直线y=-
3
4
x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B,点B的坐标为(0,6).
(1)求m的值和点A的坐标;
(2)在矩形OACB中,点P是线段BC上的一动点,直线PD⊥AB于点D,与x轴交于点E,设BP=a,梯形PEAC的面积为s.
①求s与a的函数关系式,并写出a的取值范围;
②以Q(2,2)圆心,2为半径作圆,求当PE与⊙Q相交的弦长为2.4时点的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)把B(0,6)代入直线y=-
3
4
x+m,得m=6,
把y=0代入y=-
3
4
x+6,得x=8,
∴点A的坐标为(8,0);

(2)在矩形OACB中,AC=OB=6,
BC=OA=8,∠C=90°,
∴AB=
AC2+BC2
=10,
∵PD⊥AB,
∴∠PDB=∠C=90°,cos∠CBA=
BD
BP
BC
BA
8
10
4
5
=∴BD=
4a
5
∴AD=10-
4a
5
又∵BC∥AE,
∴△PBD∽△EAD,
AE
BP
AD
BD
,即:
AE
a
10−
4
5
a
4a
5

∴AE=12.5-a,
∵S梯形PEAC=
1
2
(PC+AE)AC,
∴s=
1
2
(8-a+12.5-a)6=-6a+61.5(4.5≤a<8),
②⊙Q是△OAB的内切圆,可设⊙Q的半径为r,
∴S△OAB=
1
2
(6+8+10)r=
1
2
×6×8,
解得r=2,
设⊙Q与OB、AB、OA分别切于点F、G、H,
可知,OF=2,
∴BF=BG=OB-OF=6-2=4,
设直线PD与⊙Q交于点I、J,过Q作QM⊥IJ于点M,连接IQ、QG,
∵QI=2,IM=
1
2
IJ=1.2,
∴QM═1.6,
∴在矩形GQMD中,GD=QM=1.6,
∴BD=BG+GD=4+1.6=5.6,
由cos∠CBA=
BD
BP
BC
BA
8
10
,得BP=
5
4
BD=7,
∴点P的坐标为(7,6),
当PE在圆心Q的另一侧时,同理可求点P的坐标为(3,6),
综上,P点的坐标为(7,6)或(3,6).