已知平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（sinx，1），B（cosx，0），C（-sinx，2），点P满足AB=BP．（1）求函数f（x）=BP•CA的对称轴方程；（2）若OP∥OC，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形

Question

已知平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（sinx，1），B（cosx，0），C（-sinx，2），点P满足

AB

=

BP

．
（1）求函数f（x）=

BP

•

CA

的对称轴方程；
（2）若

OP

∥

OC

，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长．

Answer 1

（1）∵

BP

=

AB

=（cosx-sinx，-1），

CA

=（2sinx，-1），
f（x）=2sinx（cosx-sinx）+1=sin2x+cos2x=√(2)sin（2x+(π)/(4)），
令2x+(π)/(4)=kπ+(π)/(2)，k∈Z，得x=(kπ)/(2)+(π)/(8)，k∈Z，
所以函数f（x）=

BP

•

CA

的对称轴方程为x=(kπ)/(2)+(π)/(8)，k∈Z．
（2）设点P的坐标为（x_p，y_p），则

BP

=（x_p-cosx，y_p），
∵

BP

=

AB

，∴cosx-sinx=x_p-cosx，y_p=-1，
∴x_p=2cosx-sinx，y_p=-1，∴点P的坐标为（2cosx-sinx，-1），
因为

OC

=（-sinx，2）且

OP

∥

OC

，
∴（-1）×（-sinx）=2×（2cosx-sinx），∴(sinx)/(cosx)＝(4)/(3)，
∵sin²x+cos²x=1，∴cos2x＝(9)/(25)，
∴|

OA

+

OB

|=√((sinx+cosx)2+1)=√(2sinxcosx+2)=√((8)/(3)cos2x+2)=(√(74))/(5)，
∴|

OA

−

OB

|=√((sinx−cosx)2+1)=√(2−2sinxcosx)=√(2−(8)/(3)cos2x)=(√(26))/(5)，
故以

OA

，

OB

为邻边的平行四边形的对角线长分别为(√(74))/(5)，(√(26))/(5)．