在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD1垂直的概率为2716627166．

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD₁垂直的概率为

(27)/(166)

(27)/(166)

．

Answer 1

如图，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，P，Q分别为相应棱上的中点，
容易证明BD₁⊥正六边形EFGHIJ，
此时在正六边形上有

C

2 6

＝15条直线与直线BD₁垂直．
与直线BD₁垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，
共有直线4×

C

2 3

＝12条．
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点与各棱的中点共20个点，
任取2点连成直线数为

C

2 20

−12×(

C

2 3

−1)＝166条直线
（每条棱上如直线AE，ED，AD其实为一条），
故对角线BD₁垂直的概率为(15+12)/(166)＝(27)/(166)．
故答案为 (27)/(166)．