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设有一正椭圆柱体，其底面的长、短分别为2a，2b，用过此柱体底面的短轴与底面成α角（0＜α＜π2）的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积V．
题目详情
设有一正椭圆柱体，其底面的长、短分别为2a，2b，用过此柱体底面的短轴与底面成α角（0＜α＜| π |
| 2 |
▼优质解答
答案和解析
【方法一】以垂直于y轴的平行平面去截楔形体，所得截面为直角三角形，两直角边分别为 a
与 a
tanα，
故截面面积为 S（y）=
(1−
) tan α．
楔形体体积为：
V＝
dxdydz=
S(y) dy
=
(1−
) tan α dy
=
(1−
)
=
tan α．
【方法二】以垂直于x轴的平行平面去截楔形体，所得截面为矩形，其边长分别为 2b
1−
|
1−
|
故截面面积为 S（y）=
| a2 |
| 2 |
| y2 |
| b2 |
楔形体体积为：
V＝
| ∭ |
| Ω |
| ∫ | b −b |
=
| ∫ | b −b |
| a2 |
| 2 |
| y2 |
| b2 |
=
| a2tan α ∫ | b 0 |
| y2 |
| b2 |
=
| 2a2b |
| 3 |
【方法二】以垂直于x轴的平行平面去截楔形体，所得截面为矩形，其边长分别为 2b
1−
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