随着雾霾天气的出现，市场口罩销量大增，我市某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务．要求在8天之内（含8天）生产A型和B型两种型号的口罩共50万支，其中A型口罩不得少于18

Question

随着雾霾天气的出现，市场口罩销量大增，我市某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务．要求在8天之内（含8天）生产A型和B型两种型号的口罩共50万支，其中A型口罩不得少于18万只．该厂的生产能力是：若只生产A型口罩，每天能生产6万只，若只生产B型口罩，每天能生产8万只，已知生产一只A型口罩获利0.5元；生产一只B型口罩可获利0.3万只，实际生产中每天只能生产一种型号的口罩，B型口罩至少生产了一天．设该厂这次任务中生产了A型口罩x万只．
（1）这次生产的总利润为y万元，求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）在完成任务的前提下，如何安排生产A型和B型口罩只数，使总利润最大？最大利润是多少？
（3）若要在最短的时间内完成任务，该如何安排生产A型和B型口罩的只数？最短时间多少天？

Answer 1

（1）设该厂在这次任务中生产A型口罩x万只，则生产B型口罩（50-x）万只；
由题意得：y=0.5x+0.3×（50-x）=0.2x+15，
由限制条件得：

(x)/(6)+(50-x)/(8)≤8

18≤x≤50

，
解得：18≤x≤42，
∴自变量x的取值范围为：18≤x≤42．
（2）由（1）得y=0.2x+1.5，
∵k=0.2>0，
∴y随x的增大而增大，
又∵18≤x≤42，
∴当x=42时，y最大总利润=0.2×42+15=23.4万元．
此时生产A型42万只，生产B型08万只，总利润最大，最大利润为23.4万元．
（3）∵要求在最短时间内完成任务，
∴全部生产B型所用时间最短，
∵生产A型不少于18万只，
∴除了生产A型18万只外，其余的3.2万只应全部改为生产B型，
所需最短时间为1.8÷0.6+3.2÷0.8=7（天）．