A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距市距离不得少于10km．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25

Question

A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距市距离不得少于10km．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
（Ⅰ）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；
（Ⅱ）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．

Answer 1

（Ⅰ）A城供电费用为y₁=0.25×20x²，B城供电费用y₂=0.25×10（100-x）²； 所以总费用为：y=y₁+y₂=7.5x²-500x+25000（其中10≤x≤90）；
∵核电站距A城xkm，则距B城（100-x）km，∴x≥10，且100-x≥10，解得10≤x≤90； 所以x的取值范围是{x|10≤x≤90}．
（Ⅱ）因为函数y=7.5x²-500x+25000（其中10≤x≤90），当x=-(−500)/(2×7.5)=(100)/(3)时，此函数取得最小值；
所以，核电站建在距A城 (100)/(3)km处，能使A、B两城月供电总费用最小．