已知，a∈R，函数f（x）=x|x-a|．（1）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；（2）设a≠0，若函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围．（用a表

Question

已知，a∈R，函数f（x）=x|x-a|．
（1）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（2）设a≠0，若函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围．（用a表示）

Answer 1

（1）∵a＞2，x∈[1，2]，∴f（x）=x|x-a|=-x²+ax=-(x−(a)/(2))2+(a2)/(4)．
当2＜a＜3时，(a)/(2)∈（1，(3)/(2)）时，f_min（x）=f（2）=2|2-a|=2（a-2）．
当(a)/(2)≥(3)/(2) 时，即a≥3时，f_min（x）=f（1）=|1-a|=a-1．
综上可得，f_min（x）=

2a−4，a∈(2，3)

a−1，a≥3

．
（2）a≠0，f（x）=

x(x−a)  ，  x≥a

x(a−x) ，  x＜a

．
①当a＞0时，f（x）的图象如图1所示：显然函数f（x）在（-∞，a）上的最大值为f（(a)/(2)）=(a2)/(4)．
由

y＝(a2)/(4)

y＝ x(x−a)

，解得x=(1+√(2))/(2)a．
由于函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，∴0≤m＜(a)/(2)，a＜n≤(1+√(2))/(2)a．
   图1  图2 
 
②当a＜0时，如图2所示：显然函数f（x）在（a，+∞）上的最小值为f（(a)/(2)）=-(a2)/(4)．
由

y＝−(a2)/(4)

y＝ x(a−x)

 解得 x=(1+√(2))/(2)a．

由于函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，故有(1+√(2))/(2)a≤m＜a，(a)/(2)＜n≤0．