设a≥0，若y=cos2x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求y的最大、最小值及相应的x值．

Question

设a≥0，若y=cos²x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求y的最大、最小值及相应的x值．

Answer 1

原函数变形为y=-(sinx+(a)/(2))2+(a2)/(4)+b+1，
∵-1≤sinx≤1，a≥0
∴若0≤a≤2，当sinx=-(a)/(2)时
y_max=1+b+(a2)/(4)=0 ①
当sinx=1时，y_min=-(1+(a)/(2))2+1+b+(a2)/(4)=-a+b=-4 ②
联立①②式解得a=2，b=-2，
y取得最大、小值时的x值分别为：
x=2kπ-(π)/(2)（k∈Z），x=2kπ+(π)/(2)（k∈Z）
若a＞2时，(a)/(2)∈（1，+∞）
∴y_max=-(1−(a)/(2))2+1+b+(a2)/(4)＝a+b=0  ③
y_min=-(1+(a)/(2))2+1+b+(a2)/(4)＝−a+b＝−4④
由③④得a=2时，而(a)/(2)=1（舍去），
故只有一组解a=2，b=-2