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设p是正的素数,证明根号p是无理数.
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设p是正的素数,证明根号p是无理数.
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答案和解析
用反证法：
假设√p为有理数,则√p可以写成分数形式
令√p=m/n,其中m、n为互质的正整数
则：
p=m^2/n^2
即,
p*n^2=m^2
由上式可知m^2有约数p,即m有约数p
令m=pk,其中k是正整数
则：
p*n^2=m^2=(pk)^2=p^2*k^2
即,
n^2=p*k^2
由上式可知,n^2有约数p,即n有约数p
即m、n有公约数p
这与前面说m、n互质矛盾
所以√p为无理数
假设√p为有理数,则√p可以写成分数形式
令√p=m/n,其中m、n为互质的正整数
则：
p=m^2/n^2
即,
p*n^2=m^2
由上式可知m^2有约数p,即m有约数p
令m=pk,其中k是正整数
则：
p*n^2=m^2=(pk)^2=p^2*k^2
即,
n^2=p*k^2
由上式可知,n^2有约数p,即n有约数p
即m、n有公约数p
这与前面说m、n互质矛盾
所以√p为无理数
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