x到正无穷,设limf(x)=A(A不等于0),证明当x充分大时|f(x)|>1/2|A|

Question

x到正无穷,设limf(x)=A(A不等于0),证明当x充分大时|f(x)|>1/2|A|

Answer 1

x→+∞,lim f(x)=A
根据定义：
任意ε>0,存在X>0,当x>X,有|f(x)-A|因为ε的任意性,特殊地取ε=|A|/2
因此,
存在X1>0,当x>X1,有|f(x)-A|更进一步,利用三角不等式：
| |f(x)|-|A| |≤|f(x)-A|那么,立即有：
-|A|/2取左边的不等式：
|f(x)|>|A|-|A|/2=|A|/2
即：
存在X1>0,当x>X1,有|f(x)|>(1/2)*|A|
有不懂欢迎追问