limn趋向于无穷,证明（1/√(n^2+1+1)/√(n^2+2)+...+1/√(n^2+n)）=1求提示!

Question

lim n趋向于无穷,证明（1/√(n^2+1+1)/√(n^2+2)+...+1/√(n^2+n)）=1 求提示!

Answer 1

用两边夹
因为√(n^2+1) < √(n^2+k) < √(n^2+n) k=2,3,4……
所以 1/√(n^2+1) > 1/√(n^2+k) > 1/√(n^2+n)
所以 S=1/√(n^2+1)+1/√(n^2+2)+...+1/√(n^2+n)
n*1/√(n^2+n) < S < n*1/√(n^2+1)
而lim(n →+∞) n*1/√(n^2+n)= lim(n →+∞) 1/√(1+1/n) = 1
lim(n →+∞) n*1/√(n^2+1)= lim(n →+∞) 1/√(1+1/n²) = 1
所以有夹逼原理,lim(n →+∞) S=1