苦逼的文科生做高数用极限定义证明下列各式1.limn趋近于无穷(2n^2+1)/(3n^2+1)=2/32.limn趋近于无穷(9n^3-1)/(5n^4+5n-1)=03.limx趋近于1/2(6x^2-7x+2)/(2x-1)=-1/24.limx趋近于-2(8x^3+27)/(4x^2-6x+9)=-15.l

Question

【苦逼的文科生做高数】用极限定义证明下列各式
1.lim n趋近于无穷 (2n^2+1)/(3n^2+1)=2/3
2.lim n趋近于无穷 (9n^3-1)/(5n^4+5n-1)=0
3.lim x趋近于1/2 (6x^2-7x+2)/(2x-1)=-1/2
4.lim x趋近于-2 (8x^3+27)/(4x^2-6x+9)=-1
5.lim x趋近于-1 (x^2+1)=2
6.lim x趋近于2 (x^3-3)=5
7.lim x趋近于无穷 (x^6+3x^2)/(2x^6+3)=1/2
8.lim x趋近于正无穷 (x^7+10x^6+1)/(3x^5-1)=无穷

Answer 1

证明：1.对任意的ε>0,解不等式│(2n²+1)/(3n²+1)-2/3│=1/(3n²+1)<1/n²1/√ε,取N≥[1/√ε]
于是,对任意的ε>0,总存在自然数N≥[1/√ε].当n>N时,有│((2n²+1)/(3n²+1)-2/3│ 即lim(n->∞)[(2n²+1)/(3n²+1)]=2/3；
2.对任意的ε>0,解不等式│(9n³-1)/(5n^4+5n-1)│2/ε,取N≥[2/ε]
于是,对任意的ε>0,总存在自然数N≥[2/ε].当n>N时,有│(9n³-1)/(5n^4+5n-1)│ 即lim(n->∞)[(9n³-1)/(5n^4+5n-1)]=0；
3.对任意的ε>0,解不等式│(6x²-7x+2)/(2x-1)+1/2│=3│x-1/2│ 于是,对任意的ε>0,总存在δ≤ε/3.当0 即lim(x->1/2)[(6x²-7x+2)/(2x-1)]=-1/2；
4.对任意的ε>0,解不等式│(8x^3+27)/(4x^2-6x+9)+1│=2│x+2│ 于是,对任意的ε>0,总存在δ≤ε/2.当0 即lim(x->-2)[(8x^3+27)/(4x^2-6x+9)]=-1；
5.令│x+1│<3,则│x-1│<1
对任意的ε>0,解不等式│(x²+1)-2│=│(x+1)(x-1)│ 于是,对任意的ε>0,总存在δ≤min(3,ε).当0 即lim(x->-1)(x²+1)=2；
6.令│x-2│<1,则(x+1)²<16
对任意的ε>0,解不等式│(x³-3)-5│=│(x-2)((x+1)²+3)│<16│x-2│ 于是,对任意的ε>0,总存在δ≤min(1,ε/16).当0 7. 对任意的ε>0,解不等式│(x^6+3x^2)/(2x^6+3)-1/2│=│(6x²-3)/(2x^6+3)│(3/ε)^(1/4),取A≥(3/ε)^(1/4).
于是,对任意的ε>0,总存在A≥(3/ε)^(1/4).当│x│>A时,有│(x^6+3x^2)/(2x^6+3)-1/2│ 即lim(x->∞)[(x^6+3x^2)/(2x^6+3)]=1/2；
8. 对任意的M>0,解不等式│(x^7+10x^6+1)/(3x^5-1)│>│x^7/(3x^5)│=x²/3>M,得x>√(3M),取A≥√(3M).
于是, 对任意的M>0,总存在A≥√(3M).当x>A时,有│(x^7+10x^6+1)/(3x^5-1)│>M
　　　　即lim(x->+∞)[((x^7+10x^6+1)/(3x^5-1)]=∞.