证明对任意一个正整数,其正约数中末位为1或9的数的个数不小于末位为3或7的数的个数.rt

Question

证明对任意一个正整数,其正约数中末位为1或9的数的个数不小于末位为3或7的数的个数.
rt

Answer 1

设正整数约数中末尾为3的有m个,7的有n个
设其为x1,x2,...,xm
y1,y2,...,yn(按大小排列）
m=0时,
n=0,得证
n=1时,1是N的正约数
n>=2时 1,y1*y2,yi*y3,..,y1*yn,互不相同,共n个,
m=0时,同理可证.
m,n>=1时,y1*y2,yi*y3,..,y1*yn共n-1个
x1*x2,...,x1*xm 共m-1个
x1*y1末尾为1
又有1为N的正约数
至少m-1+n-1+1+1=m+n个
综上,得证