证明y=e^(-x^2)是有界函数.（e=2.71828）

Question

证明y=e^(-x^2)是有界函数.（e =2.71828）

Answer 1

首先,函数y=e^(-x²)是偶函数,也就是函数图象关于y轴对称,因此只需考虑[0,+∞)上的情形即可
当x≥0时,x²是随着x的增大而增大的,
由指数函数y=e^x的性质可知,x越大,y=e^x值越大,所以对于本题
y=1/e^x²应该是随着x的增大而减少,
由y(0)=1,y(+∞)=lim 1/e^x²=0可知在[0,+∞)上函数y的值域是(0,1],
综上,函数在x＜0时值域也为(0,1]
从而对于x∈R,有 y∈(0,1],也就是y是R上的有界函数.
如果学习过导数,那么单调性可以通过求导数,判断符号来理解.