（2014•安阳三模）已知函数f（x）=x-1-alnx，a＞0．（Ⅰ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值集合；（Ⅱ）证明：（1+1n）n＜e＜（1+1n）n+1（其中n∈N*，e为自然对数

Question

（2014•安阳三模）已知函数f（x）=x-1-alnx，a＞0．
（Ⅰ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值集合；
（Ⅱ）证明：（1+(1)/(n)）ⁿ＜e＜（1+(1)/(n)）ⁿ⁺¹（其中n∈N ^*，e为自然对数的底数）．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x-1-alnx，a＞0，
∴x＞0，f′(x)＝1−(a)/(x)，
由f′（x）=0，得x=a．
x∈（0，a）时，f′（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）的减区间是（0，a），增区间是（a，+∞），
∴f（x）_极小值=f（a）=a-1-alna．
∵对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0恒成立，
∴f（x）_极小值=f（a）=a-1-alna≥0．
∴a≥(1)/(1−lna)．
（Ⅱ）证明：设数列a_n=（1+(1)/(n)）ⁿ，数列b_n=（1+(1)/(n)）ⁿ⁺¹，
由

lim

x→∞

(1+(1)/(x))x＝e，得：

lim

n→∞

an=e，

lim

n→∞

bn=e．
因此只需证数列{a_n}单调递增且数列{b_n}单调递减，
①证明数列{a_n}单调递增：
a_n=（1+(1)/(n)）ⁿ＜(((1+(1)/(n))+(1+(1)/(n))+…+(1+(1)/(n)))/(n+1))n+1
=((n+2)/(n+1))n+1=a_n+1，
∴数列{a_n}单调递增．
②证明数列{b_n}单调递减：
b_n=（1+(1)/(n)）ⁿ⁺¹=(1)/(((n)/(n+1))n+1)
=(1)/((1−(1)/(n+1))n+1)（ 令 t=-（n+1），换元 ）
=（1+(1)/(t)）^t=a_t，
由①得a_t关于t单调递增，而t=-（n+1）关于n单调递减，
由复合函数的单调性知，{b_n}．
∴（1+(1)/(n)）ⁿ＜e＜（1+(1)/(n)）ⁿ⁺¹（其中n∈N ^*，e为自然对数的底数）．