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证明f(x)=x³在R上是一增函数
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证明f(x)=x³在R上是一增函数
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答案和解析
令x1>x2
f(x1)-f(x2)
=x1³-x2³
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)
=(x1-x2)[(x1+x2/2)²+3x2²/4]
只有x1=x2=0时,(x1+x2/2)²+3x2²/4=0
但这不符合x1>x2
所以(x1+x2/2)²+3x2²/4>0
且x1>x2,则x1-x2>0
所以x1>x2时,f(x1)>f(x2)
所以是增函数
f(x1)-f(x2)
=x1³-x2³
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)
=(x1-x2)[(x1+x2/2)²+3x2²/4]
只有x1=x2=0时,(x1+x2/2)²+3x2²/4=0
但这不符合x1>x2
所以(x1+x2/2)²+3x2²/4>0
且x1>x2,则x1-x2>0
所以x1>x2时,f(x1)>f(x2)
所以是增函数
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