如图,大圆直径为30,一个小圆的直径都是大圆直径的一半,求阴影部分的面积.

Question

如图,大圆直径为30,一个小圆的直径都是大圆直径的一半,求阴影部分的面积.

Answer 1

首先证明图中的(1)部分面积等于(2)部分的面积.
作辅助线将大圆形分成1/4扇形,大圆形的面积为πr^2 = 225π,因此大扇形的面积为56.25π.大扇形里面包含两个小的半圆形,小半圆形的半径为7.5,因此两个小半圆形的面积之和等于56.25π.由于大扇形的面积与两个小半圆形的面积和相等,因此(1)与(2)的面积相等.
其次计算(1)部分的面积.
作辅助线在大扇形内部勾出一个正方形,正方形的边长为7.5,面积为56.25.又因为正方形里面由两个部分重叠的小扇形组成,小扇形的面积为1/4×πr^2 = 14.0625π,两个小扇形的面积之和为28.125π,因此(1)部分的面积为(28.125π - 56.25).
至此我们已经计算出了一个大扇形内的阴影面积.于是全部的阴影面积为225π-8 × (28.125π- 56.25) = 450