正四面体的表面积与这个正四面体内切球的表面积之比

Question

正四面体的表面积与这个正四面体内切球的表面积之比

Answer 1

文科数学有的内容就是有点“死记硬背”公式了,但是知道一些规律可以辅助记忆.

平面中：一个三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的“重心”,重心分中线为1：2.
其实就是将一根直线分给三条边,其中一条边占剩余两条边的二分之一.
放到立体中：三菱锥（题中是正四面体）中,有4条边,其中的一条边占剩余三条边的三分之一,也就是正四面体的重心将高分成两段,短的那段是内接圆半径,长的那段是外接圆半径,他们的比是1:3.
有了以上的理解,就不难了.
当正四面体的棱长为a时,高为√6a/3.中心把高分为1:3两部分.
利用勾股定理得：内切球半径为√6a/12,内切球表面积为1/6πa^2
正四面体的表面积是：√3a^2.
那么正四面体的表面积与这个正四面体内切球的表面积之比：：√3：π/6

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