我们初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式．提出问题如何用表示几何图形面积的方法推证：13+2

Question

我们初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：1³+2³=3²？
【解决问题】
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=1³
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：1³+2³=3²
【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³=___．
要求：自己构造图形并写出详细的解题过程．
【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³+…+n³=___．
（参考公式：1+2+3+…+n= ((1+n)n)/(2)）
注意：只需填空并画出图形即可，不必写出解题过程．
【提炼运用】如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，
如图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0个看不见；
如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1个看不见；
如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8个看不见；
求：从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数．

Answer 1

【递进探究】
如图，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1=1³，
B、C、D表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³，
E、F、G表示3个3×3的正方形，即：3×3×3=3³，
而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3=6，
∵S_A+S_B+S_C+S_D+S_E+S_F+S_G=S_大正方形，
∴1³+2³+3³=6²；
【推广探究】
由上面表示几何图形的面积探究知，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，
又∵1+2+3+…+n=(n(n+1))/(2)，
∴1³+2³+3³+…+n³=（(n(n+1))/(2)）²=(n2(n+1)2)/(4)．
【提炼运用】
图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0=（1-1）³个看不见；
如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1=（2-1）³个看不见；
如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8=（3-1）³个看不见；
…，
从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为：（1-1）³+（2-1）³+（3-1）³+…+（101-1）³=0³+1³+2³+…+100³=(1012×(101+1)2)/(4)=26532801．
故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为26532801．
故答案为：6²；(n2(n+1)2)/(4)．