│111││111││a^2b^2c^2│=(ab+bc+ca)│abc││a^3b^3c^3││a^2b^2c^2│证明上式（要有过程哦）

Question

│1 1 1│ │1 1 1│
│a^2 b^2 c^2│=(ab+bc+ca) │a b c│
│a^3 b^3 c^3│ │a^2 b^2 c^2│
证明上式（要有过程哦）

Answer 1

r1-r2 │0 0 1│
左边 = |a^2-b^2 b^2-c^2 c^2|=(a^2-b^2)(b^3-c^3)-( b^2-c^2)
r2-r3 |a^3-b^3 b^3-c^3 c^3|
(a^3-b^3)=(a-b)(a+b)(b-c)(b^2+bc+c^2)-(b+c)(b-c)(a-b)(a^2+ab+b^2)
=(a-b)(b-c)(ab^2+abc+ac^2+b^3+b^2c+bc^2-a^2b-ab^2-b^3-a^2c-abc-b^2c)
=(a-b)(b-c)(ac^2+bc^2-a^2b-a^2c)=(a-b)(b-c)[ac(c-a)+b[(c-a)(c+a)]
=(a-b)(b-c)(c-a)(ac+bc+ab)
右边=(ab+bc+ca)（bc^2+ca^2+ab^2-b^2c-ac^2-ba^2)=(ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(c-a)
所以,左边=右边,等式成立.
很辛苦,自己一点一点敲得,希望楼主给个分!