(有难度)抽屉题.一个国际社团的成员来自六个国家,共有成员2000人,用1,2...2000编号,请证明:该社团至少有一个成员号码,与他的同胞的号码之和相等,或是他的一个同胞号码的两倍.先发上来,问着

Question

(有难度)抽屉题.
一个国际社团的成员来自六个国家,共有成员2000人,用1,2...2000编号,请证明:该社团至少有一个成员号码,与他的同胞的号码之和相等,或是他的一个同胞号码的两倍.
先发上来,问着,等下我再去研究……

Answer 1

道题需要反复应用抽屉原则.我来证明:反设任何一个成员的号码,都不与他的其中两个同胞的号码之和相等,或是他的一个同胞的号码的两倍.六个国家中,一定有一个国家有334个社团成员,设为A国,他们的成员号码从大到小分别为a1,a2,...,a334(多与334的成员可不记)考虑号码bi=a334-ai,(i=1,2,...,333)显然,这333个号码不可能属于A国,在余下的5个国家中,一定有一个国家有这333个号码中的67个,不妨设为B国,拥有的号码设为b1,b2,...,b67.(说明:此处沿用原来的前67个号码仅仅是为了方便描述,实际上应该用bi1,bi2,...,bi67,不过这对证明毫不影响,以下同,不再重复说明)考虑号码ci=b1-bi=ai-a1,(i=2,...,67),显然,这66个号码不属于A,B国,在余下的4个国家中,一定有一个国家有这66个号码中的17个,不妨设为C国,拥有的号码是c2,c3,...,c18.考虑号码di=c18-ci=bi-b18=a18-ai,(i=2,3,...,17),显然这16个号码不属于A,B,C国,在余下的3个国家中,一定有一个国家有这16个号码中的6个,不妨设为D国,拥有的号码是d2,d3,...,d7.考虑号码ei=d2-di=ci-c2=b2-bi=ai-a2.(i=3,4,...,7),显然,这5个号码不属于A,B,C,D国,在余下的2国中,一定有一个国家有这6个号码的3个,不妨设为E国,拥有的号码是e3,e4,e5.考虑号码fi=e5-ei=di-d5=c5-ci=bi-b5=a5-ai.(i=3,4),和g=e4-e3=d3-d4=c4-c3=b3-b4=a4-a3显然这3个号码不属于ABCDE国,于是他们都属于第六国,但g+f4=f3,矛盾!