有一列数a1，a2，a3，…，an，满足下列条件：a1=0，|a2|=|a1+1|，|a3|=|a2+1|，…，|an|=|an-1+1|．求证：a1，a2，a3，…，an这n个数的算术平均数不小于-12．

Question

有一列数a₁，a₂，a₃，…，a_n，满足下列条件：a₁=0，|a₂|=|a₁+1|，|a₃|=|a₂+1|，…，|a_n|=|a_n-1+1|．求证：a₁，a₂，a₃，…，a_n这n个数的算术平均数不小于-(1)/(2)．

Answer 1

证明：∵a₁=0，|a₂|=|a₁+1|，|a₃|=|a₂+1|，…，|a_n|=|a_n-1+1|，
∴a₁²=0，a₂²=（a₁+1）²，a₃²=（a₂+1）²，…，a_n²=（a_n-1+1）²，
即a₁²=0，a₂²=a₁²+2a₁+1，a₃²=a₂²+2a₂+1，…，a_n²=a_n-1²+2a_n-1+1，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=a₁²+2a₁+1+a₂²+2a₂+1+…+a_n-1²+2a_n-1+1，
∴2（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=a_n²-n≥-n，
∴(1)/(n)（a₁+a₂+a₃+…+a_n）≥-(1)/(2)，
即a₁，a₂，a₃，…，a_n这n个数的算术平均数不小于-(1)/(2)．