u=u(x,y),f(u)是可微函数,证明gradf(u)=f'(u)gradu

Question

u=u(x,y),f(u)是可微函数,证明gradf(u)=f'(u)gradu

Answer 1

gradf(u)是一个向量Ai+Bj,其中A,B分别代表f(u)对x,y的偏导数.
f(u)对x的偏导数是一个复合函数的求导,u是中间变量,结果是f'(u)×αu/αx.同理f(u)对y的偏导数是f'(u)×αu/αy.
所以,gradf(u)=f'(u)×αu/αx i ＋ f'(u)×αu/αy j＝f'(u)×(αu/αx i ＋αu/αy j)＝f'(u)×gradu