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（2010•武汉四月调考）如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．（1）求证：BE=BC；（2）∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN+DN＝2AN；
题目详情
（2010•武汉四月调考）如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=BC；
（2）∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN+DN＝
AN；
（3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为
．
（1）求证：BE=BC；
（2）∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN+DN＝
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（3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为
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▼优质解答
答案和解析
（1）证明：∵BG⊥AP，AG=GE，
∴BG垂直平分线段AE，
∴AB=BE，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴BE=BC；
（2）证明：连接CN，延长BN交CE于H．
自点D作DM⊥AN于M，
显然Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG，
∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，
∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，
∴△BCN≌△BEN，
∴CN=NE，△CEN是等腰三角形，
延长AE交DC延长线于F，则有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，
A，B，C，D，N五点共圆，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所对圆周角=45°]
Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，
DM=
AG=DN，
GN=BN，
AG+
GN=
AN=BN+DN；
（3）根据勾股定理，AP=
=
∴BG垂直平分线段AE，
∴AB=BE，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴BE=BC；
（2）证明：连接CN，延长BN交CE于H．
自点D作DM⊥AN于M，
显然Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG，
∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，
∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，
∴△BCN≌△BEN，
∴CN=NE，△CEN是等腰三角形，
延长AE交DC延长线于F，则有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，
A，B，C，D，N五点共圆，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所对圆周角=45°]
Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，
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（3）根据勾股定理，AP=
| AB2+BP2 |
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