关于x的方程x^3-(4+d)x^2+5dx-d^2=0的三个实根恰好是一个直角三角形的三边的平方,则自然数d的值是

Question

关于x的方程x^3-(4+d)x^2+5dx-d^2=0的三个实根恰好是一个直角三角形的三边的平方,则自然数d的值是

Answer 1

x^3-(4+d)x^2+5dx-d^2=0
x³-4x²-dx²+4dx+dx-d²=0
(x³-dx²)+(-4x²+4dx)+(dx-d²)=0
x²(x-d)-4x(x-d)+d(x-d)=0
(x-d)(x²-4x+d)=0
∴x1=d,x2=2-1/2√(16-4d),x3=2+√(16-4d),
可以看出x2＜x3
∴x1或x3可作为斜边
∴有x2²+x3²=x1² 或 x1²+x2²=x3².即
[2-1/2√(16-4d)]²＋[2+1/2√(16-4d)]²=d² ……①或
d²＋[2-1/2√(16-4d)]²=[2+1/2√(16-4d)]²……②
∴由①得：8+1/2（16-4d）=d²
d²+2d-16=0
d=-1±√17 由于d不是自然数,故舍去.
由②得：d²=4√(16-4d)
由于16-4d≥0,而d为自然数,∴d=0或1或2或3或4,
当d=0时,d²≠4√(16-4d),故舍去.
当d=1时,d²≠4√(16-4d),故舍去.
当d=2时,d²≠4√(16-4d),故舍去.
当d=3时,d²≠4√(16-4d),故舍去.
当d=4时,d²≠4√(16-4d),故舍去.
∴自然数d没有值适合此题