在三角形ABC中,边a平方,b平方,c平方成等差数列.求证：cotA,cotB,cotC也为等差数列

Question

在三角形ABC中,边a平方,b平方,c平方成等差数列.求证：cotA,cotB,cotC也为等差数列

Answer 1

证明：
cotA=cosA/sinA, cotC=cosC/sinC
cotA + cotC=cosA/sinA + cosC/sinC = (cosAsinC + cosCsinA)/sinAsinC
=sin(A+C)/sinAsinC
=sinB/sinAsinC
根据正弦定理可得,sinB=b/2R, sinA=a/2R, sinC=c/2R
所以,cotA + cotC=(b/2R) /(a/2R * c/2R)=2Rb/ac
cotB=cosB/sinB,
根据正弦定理可得,sinB=b/2R；根据余弦定理,cosB=(a² + c² - b²)/2ac
又已知a²,b²,c²成等差数列,即a² + c² = 2b²,所以cosB=b²/2ac
所以,由正弦定理,及余弦定理结论可得,
cotB=cosB/sinB=(b²/2ac)/(b/2R)=Rb/ac
显然,cotA + cotC=2cotB,
所以,得证cotA, cotB, cotC依次也成等差数列.