求证:Limsinsinsin...sinX=0(说明:sin共有n个)n→∞

Question

求证:Limsinsinsin...sinX=0(说明:sin共有n个)
n→∞

Answer 1

记Y1＝sinx,Y2＝sin(sinx),Y3＝sin(sin(sinx)).通项公式是Yn＝sin(Y(n-1))
很明显,所有的Yn关于x都是奇函数,又sinx∈[－1,1],所以只考虑0≤x≤π即可
首先,证明Yn的极限存在：Yn有界是显然的,又|sinx|≤|x|,所以Y1≥Y2≥Y3≥...≥Yn,所以Yn的极限存在,记为A.
其次,计算A：在Yn＝sin(Y(n-1))两边令n→∞,则A＝sinA,此方程只有唯一解0,所以A＝0