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lim(cos2x-cos3x)/[根号(1+x^2)-1]X趋近于0
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lim(cos2x-cos3x)/[根号(1+x^2)-1] X趋近于0
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答案和解析
lim(x→0) (cos2x－cos3x)/[√(1＋x^2)－1]
＝lim(x→0) (cos2x－cos3x)×1/[√(1＋x^2)－1] 分母有理化
＝lim(x→0) (cos2x－cos3x)×[√(1＋x^2)＋1]/[(1＋x^2)－1]
＝lim(x→0) (cos2x－cos3x)/x^2×lim(x→0) [√(1＋x^2)＋1]
＝2×lim(x→0) (cos2x－cos3x)/x^2
＝2×lim(x→0) (cos2x－1＋1－cos3x)/x^2
＝2×lim(x→0) (cos2x－1)/x^2＋2×lim(x→0) (1－cos3x)/x^2
＝2×lim(x→0) [(－1/2×(2x)^2]/x^2＋2×lim(x→0) [1/2×(3x)^2]/x^2
＝2×(－1/2×4)＋2×(1/2×9)＝5
＝lim(x→0) (cos2x－cos3x)×1/[√(1＋x^2)－1] 分母有理化
＝lim(x→0) (cos2x－cos3x)×[√(1＋x^2)＋1]/[(1＋x^2)－1]
＝lim(x→0) (cos2x－cos3x)/x^2×lim(x→0) [√(1＋x^2)＋1]
＝2×lim(x→0) (cos2x－cos3x)/x^2
＝2×lim(x→0) (cos2x－1＋1－cos3x)/x^2
＝2×lim(x→0) (cos2x－1)/x^2＋2×lim(x→0) (1－cos3x)/x^2
＝2×lim(x→0) [(－1/2×(2x)^2]/x^2＋2×lim(x→0) [1/2×(3x)^2]/x^2
＝2×(－1/2×4)＋2×(1/2×9)＝5
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