已知f（x）=根号2cos（2x+π/4）+2图像向左平移m个单位（m>0）,得到的图像关于直线x=17π/8对称,（1）求m的最小值.（2）若方程f（x）=p在（0,π）内有两个不相等的实根x1,x2,求实数p的取值范围及x1+

Question

已知f（x）=根号2cos（2x+π/4）+2图像向左平移m个单位（m>0）,得到的图像关于直线x=17π/8对称,
（1）求m的最小值.（2）若方程f（x）=p在（0,π）内有两个不相等的实根x1,x2,求实数p的取值范围及x1+x2的值.

Answer 1

(1)2(x+m)+π/4=2（17π/8+m)+π/4=kπ,k∈Z,
m=(k/2-9/4)π,m>0,取k=5,
m的最小值=π/10.
(2)x∈(0,π),
∴u=2x+π/4的值域是(π/4,9π/4),
v=cosu的值域是[-1,1],其中v=土1,√2/2时只有一个原像,
f(x)=√2v+2的值域是[2-√2,2+√2],其中f(x)=2土√2,3时只有一个原像,
∴p的取值范围是(2-√2,3)∪(3,2+√2),
v∈(-1,1/√2)时2x1+π/4+2x2+π/4=2π,
即p∈(2-√2,3)时x1+x2=3π/4；
v∈(1/√2,1)时2x1+π/4+2x2+π/4=4π,
即p∈(3,2+√2)时,x1+x2=7π/4.