(a+b+c+d)^15拆开有多少项?用排列组合做?

Question

(a+b+c+d)^15拆开有多少项?用排列组合做?

Answer 1

答案是816.
拆开以后,每项形如(a^x)(b^y)(c^z)(d^w),其中x+y+z+w=15.这种不同的项的个数可以理解成：
把15个不同的东西分成有序的至多4份,每份允许是0个东西的分法数.考虑一列15个点,有16的空隙,每个空隙都可以放隔板,同一个空隙可以放不止一个隔板.现在在这16个空隙中放3个隔板,那么15个点就被隔开成4份,正好对应原来的问题.所以问题就转化成,在16个空隙中可重复地选3个空隙的选法数.按照可重复选择的公式：m个空隙可重复选择n个的选法数为
{m multichoose n}={m+n-1 choose n}
得到答案 {16 multichoose 3}={16+3-1 choose 3}={18 choose 3}=816.